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大学受験の数学で確率は得点源!苦手でも克服できる方法を東工大生が解説

今回は「大学受験の数学で確率が得点源になる理由と、たとえ今確率が苦手でも克服できる方法」を東工大生である私が説明したいと思います。

 

数学を勉強するにあたってまず最初に皆がつまづくのが確率です。普通の人間ならほぼ間違いなく確率でつまづきます

 

私もある時までは確率が苦手で一番嫌いな単元でした。毎回模試で出るたびに誰でも解けるレベルの問題が出ることを祈るほどでした。

 

しかし、苦手なまま進んでいくのもやばいと思い対策をしたところ、確率が一番楽な科目に変わり、得点源になりました。

 

確率のダメなところと良いところは「様々な解法が存在すること」です。解法が多いがゆえに皆戸惑うし、逆にもし理解できれば、別解を考案して最短で解くことができます

 

つまり、確率という単元は弱点になりやすい一方で、最強の武器に変えやすい単元でもあるのです。

 

確率を苦手なままにしておくのは、ダイヤモンドの原石をそのまま放置しているのと同じくらいもったいないことなので、是非克服しましょう。

 

その克服の手助けとして今回、私が確率を克服して得意単元にした方法を紹介したいと思います。

 

ちなみに私の受験期時代の詳細と、各科目の効率的な勉強方法は以下の記事でまとめていますので、この記事を読み終えた後に是非ご覧ください。

 

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全国最下位レベルの落ちこぼれでも、理工系最難関大学である東京工業大学(東工大)への逆転合格ができるということを証明しています。

 

もし、いま成績が悪いけど難関大に行きたいと思っている方がいましたら、是非読んでください。参考になると思います。

 

今回の記事はこんな方にオススメ

・数学の中で確率が苦手で困っている

・いつも模試で確率の単元を落としている

・確率が分からなくてすごく嫌い

 

 

1. 確率が苦手な理由と得点源になる理由

 

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確率の苦手意識を克服するうえで、原因分析は非常に重要です。なぜ確率は苦手意識を持たれやすいのでしょうか。

 

皆が確率に苦手意識を持つ原因は以下です。

 

①公式のパターンが少なく、思考による解答が求められるから

②解法が多く存在しており、戸惑ってしまうから

③場合分けが多く、手間がかかるから

 

それぞれの原因について具体的に見ていきましょう。おそらく皆さんはどれかのケースに当てはまっているがゆえに苦手意識を持っているのだと思います。

 

①が原因の場合

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確率では公式や解法パターンが他の単元に比べて統一されていません。

 

例えば微分やベクトルなどの分野は、使うべき公式が決まっており、問題のパターンもある程度のレベルまでは丸暗記で対応できます。

 

しかし確率の場合、公式やパターンが他の単元に比べると定まっておらず、より「思考」を求められる単元となっています。

 

しかも慣れていないうちはその「思考」が難しく、その段階で確率に苦手意識を持ってしまう方が多いです。

 

②が原因の場合

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確率は一つの問題に対して複数の解法が存在します。数え上げる方法もあれば、スタイリッシュに式で解いていくやり方もあるし、逆転の発想を用いる解法も存在します。

 

そして厄介なのが、解法を選び間違えると解き終わるまでに相当な複雑さと時間を要することがある、ということです。

 

例えば、白玉3個と赤玉4個が入った袋の中から玉を2個取り出した時、白玉が少なくとも1個含まれている確率を求めなさい、という問いがあったとします。

 

この時、真正面から「白玉が1個の時の確率と白玉が2個の時の確率を足す」という方法をとると、時間がかかります。

 

逆に、余事象を利用して「白玉が1個も含まれない確率を全体から引く」という方法を用いた場合、先ほどのようにそれぞれ場合分けして足した時よりも時間短縮ができます。

 

この問題の場合はそれほどどちらの解法にも時間的差がないのですが、難易度が上がってくると大きな差が生じてきたりします。

 

また、今回は余事象を用いたときの方が時間短縮ができましたが、逆に余事象を用いた方が複雑化して時間がかかってしまうケースもあります。

 

このように、確率の場合は解法が複数存在するうえに、その時々の解法を選び間違えると時間と複雑さが増えてしまうことが多々あるので、それを毛嫌いしてしまう人が多いです。

 

③が原因の場合

 

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確率では場合分けが複雑な問題が多いです。画期的な別解を思いつけば簡略化することが可能ですが、思いつかない場合は地道に場合分けをするしかありません。

 

先ほどの例の、余事象を使わない方法を用いた時、白玉が1個の場合と2個の場合で場合分けをしましたね。

 

先ほどの例は超簡単な問題だったのですんなりと場合分け出来ましたが、問題が複雑化してくると、場合分けの数と手間が増えます。

 

その時に、場合分けの多さと複雑さで嫌気がさしてしまって、根折れしてしまう人が多いです。場合分けが多い問題ほど鬱陶しい問題はないですからね。

 

以上が、確率を苦手とする人が多い理由とその嫌いな原因についての紹介です。

 

確率は毛嫌いする人が多いですが、一度慣れると間違いづらく、かつ時間短縮ができる単元になるので、他の問題にも時間を回すことができて総得点の底上げにも貢献します。

 

2. 確率で必要なものは2つだけ

 

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先ほど紹介したように、一見確率はややこしい複雑な単元のように思えますが、実は確率で必要な知識は2つしかありません

 

その2つは以下です。

 

■「Pは順列」で「Cは組み合わせ」

■「独立」と「排反」の計算の仕方

 

誰でも一度は聞いたことがあると思います。「独立」や「排反」は難しく言っていますが、要は「掛け算」か「足し算」かの違いです。

 

「Pは順列」で「Cは組み合わせ」

 

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PとCについては学校で習ったと思います。もしかしたら、並び替え問題ではPを、取り出す問題ではCを使えと教わっているかもしれません。

 

しかし、その理解だけだと今後一切の応用が利かなくなる危険性があります。これらPとCの本質は以下です。

 

P:①選び方を気にする②並び方を気にする

C:①選び方だけ気にする

 

例えば以下のような問いがあったとします。

 

【問1】

A~Gさんが部屋の中で待機しているとします。秋元や〇し監督はその中から3人を選んでダンスユニットを作ろうと思いつきました。

 

しかしダンスユニットなので、ただ3人を選ぶだけではなく、それぞれのダンスの立ち位置も決めなければなりません。

 

そこで監督は、A~Gさんの中から3人を選んで、かつそれぞれのダンスの立ち位置を決めようとしました。その時出来上がるダンスユニットの立ち位置のパターンは何パターンあるでしょうか。

 

【解答と解説】

この答えは、まずA~Gさんの7人のうちから3人を選び(①選び方を気にする)、その上でその3人のダンスの立ち位置を決めないといけない(②並び方を気にする)ので、7P3になります。

 

【問2】

ではもし監督が急に、やっぱりとりあえずダンスユニットのメンバーだけ決めたいから立ち位置は誰がどこにいてもいいや、と言ったらどうでしょう。

 

先ほどせっかく選び方と並び方の通り数を決めたのに、初めからやり直しになりそうです。しかしせっかく決めたのに初めからやり直しは腹が立ちますよね。

 

そこで、先ほど出した「①選び方②並び方の通り数」である7P3を利用しましょう。

 

【解答と解説】

今回、監督の命令で②並び方の通り数はやっぱり決めなくていいとのことだったので、②だけを消してあげればいいのです。では、どうやって②だけを消しましょう。

 

②だけをリセットする方法は7P3/3!で求めることができます。つまり、並びの通り数で割ればいいのです。

 

3人のダンスユニットの選び方が35通りで、その3人の立ち位置の通り数が6通りだった場合、3人のメンバーを選んで立ち位置を決める通り数は35×6です。これが7P3です。

 

この35×6(7P3)を、立ち位置の通り数である6通りで割ってあげれば、3人のダンスユニットの選び方だけになりますよね。この立ち位置の通り数である6通りが3!です。

 

つまり、ダンスユニットだけの選び方は35通り(7P3/3!)になります。これで、監督の急なむちゃぶりに何とかこたえることができました。

 

そして、この7P3/3!7C3と表すこともできます。このように、PとCはお互いをお互いで表すことができます。

 

この変換は公式として暗記するのではなく、今回のように概念として理解しておいてください。

 

ここまでが最低限理解できていれば、今からでも十分苦手から得意単元に変えられます。

 

「独立」と「排反」の計算の仕方

 

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「独立」と「排反」と聞くと難しそうに聞こえますが、これは簡単に説明すると「掛け算」か「足し算」かの違いです。 

 

【排反】

例えば、サイコロ2個を投げてその和が6の倍数にある確率を求めなさい、と言われたらどうしますか。

 

おそらく①サイコロの目の和が6になる時、と②サイコロの目の和が12になる時、のそれぞれの確率を求め、最後にそれぞれの確率を足すと思います。

 

これは、サイコロの目の和が6になる時とサイコロの目の和が12になる時が関係のない事象だから足すのです。

 

イメージとしては、6になる場合、または12になる場合、という「または」のイメージです。

 

【独立】

一方、サイコロ2つを2回投げ、1回目のサイコロの目の和が6で、2回目のサイコロの目の和が12になる確率を求めなさい、と言われたらどう答えますか。

 

おそらく①サイコロの目の和が6になる確率、と②サイコロの目の和が12になる確率、をかけると思います。

 

これは、1回目のサイコロの目の結果と2回目のサイコロの目の結果が関係しているからです。お互いの結果が、求められているものとそろって初めて算出されるもの、つまり関係のある事象だからかけ合わせるのです。

 

イメージとしては、6になる場合かつ12になる場合、という「かつ」のイメージです。

 

この「足し算」「掛け算」の区別がついていれば、確率を苦手から得意にする準備としてはオーケーです。

 

以上、「PとCの概念」と「独立・排反の概念」さえ理解していれば、今からでも超苦手な確率を得意科目に変えることは可能です。

 

3. 確率を苦手から得意単元にする方法

 

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先ほど紹介したように、「PとCの概念」と「独立・排反の概念」さえ頭に入っていれば、確率は得意科目にすることが可能です。たったこの2つでいいです。

 

確率はよくわからないまま、とりあえずこの問題はPでとりあえずこの問題はCを使えって習った、という感覚で演習していてもなかなか上達しません

 

しかし、PとCの本質や独立と排反の違いを、ある程度でいいのでイメージしたうえで演習を重ねていけば、自然とできるようになってくる単元です。

 

今確率が苦手で点数が悪い人というのは、なんとなくでPとCを使っている人あるいは、単純に演習量が足りていない人のどちらかです。

 

まずはPとCの概念と独立排反の概念をある程度でいいのでイメージして、その上で演習を繰り返していけば必ず苦手克服できます。

 

確率の場合は、演習するときの手順があります。

 

≪問題集1周目≫

①PとCは概念をある程度イメージする

②少し考えて分からなければすぐに答えを見る

③なぜその解法になるのか考える

※もし分からなければそのまま解法を暗記

 

≪問題集2周目≫

④分からなくとも5分程考える

⑤それでも分からなければ答えを見る

⑥解法を読んで理解する

※もし理解できなければ再び暗記

 

≪問題集3周目≫

⑦解ける問題に関しては別解も考えてみる

⑧解けない問題は解法を理解できるまで考える

※どうしても分からなければ一旦飛ばす 

※質問できる人がいるのならこの時点で聞く

 

≪これ以降≫

同じ問題に〇が3つつくまで繰り返し、3つ〇がついた時点でその問題はOK

 

ここまで繰り返してなお、解答を読んで理解できない問題があるのなら、根本的な原理から理解しなおす必要あり

 

以上の方法で確率はある程度対策できます。確率は英語と同様で、時間をかければかけるほどどんどん理解できてきます

 

そのため、決してセンスなどは関係ないので、ここまでのことを意識しながらめげずに演習を続けてください。そうすれば勝手にできるようになってきます。

 

4. まとめ

 

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以上が確率の苦手克服法です。

 

結局、どの分野もどの単元も、超難関レベルまではセンスなど関係ありません

 

確率の場合は最初に概念を理解しておく必要がある程度ありますが、数学の他の単元は丸暗記から入っても、演習していくうちに概念が理解できてきます。

 

そのため、僕(私)にはセンスがないんだ…とか落ち込む暇があれば演習を繰り返してください。

 

勉強ほど平等なものはありません。もし違いがあるとすれば、単純な努力の差です。落ち込んだ時に、その落ち込みを勉強に変えられるか、落ち込み続けるかだけの差です。

 

もし本気で確率を克服したいのであれば、先ほど記載した通りに実行してみてください。確率を克服できた後に私の言っていた意味が分かってくると思います。